Kupas Tuntas Kedudukan Titik, Baris, dan Bidang

Materi Sebelumnya : Pengenalan Dimensi Tiga

Salam sehat dan sukses calon generasi emas.

Sebelum mempelajari kedudukan titik, garis dan bidang,

Kita harus memahami unsur-unsur benda dalam dimensi tiga.

Terdapat tiga unsur yang ada dalam suatu benda berdimensi tiga, yaitu titik, garis, dan bidang.

Pengertian ketiga unsur itu adalah sebagai berikut.

Pengertian Titik, Baris, dan Bidang

Titik

Titik merupakan sesuatu yang tidak memiliki ukuran (tak berdimensi) hanya ditentukan oleh letaknya saja.

Titik disimbolkan dengan noktah (.) dan biasanya diberi nama dengan huruf besar (kapital), misalnya P, Q, R, S dan sebagainya.

Perhatikan gambar 5.1 di bawah ini !

Garis

Garis adalah kumpulan atau himpunan titik-titik yang membentuk kurva lurus.

Garis merupakan bangun berdimensi satu karena ukuran (dimensi) yang dimiliki hanya satu, yaitu ukuran panjang saja.

Garis sebenarnya merupakan kurva lurus yang panjangnya tak terbatas.

Garis biasanya diberi nama dengan huruf kecil, misalnya a, b, c, d dan seterusnya.

Bagian garis disebut dengan segmen garis diberi nama sesuai dengan titik-titik yang ada di ujung garis tersebut.

Segmen garis disebut juga ruas garis.

Ruas garis merupakan kurva lurus yang panjangnya terbatas.

Perhatikan gambar 5.2 di bawah ini !

Bidang

Bidang disebut bangun berdimensi dua karena memiliki dua dimensi, yaitu dimensi panjang dan dimensi lebar serta tidak memiliki dimensi ketebalan.

Nama sebuah bidang biasanya menggunakan huruf Yunani yang dituliskan di bagian pojok bidang, seperti α, β, dan γ.

Selain itu, sebuah bidang juga dapat dinamai dengan menyebutkan titik-titik sudut dari bidang tersebut.

Perhatikan gambar 5.3 di bawah ini !

Untuk memudahkan kita dalam mempelajarinya,

Bidang biasanya digambarkan dalam bentuk jajargenjang, persegi atau persegi panjang.

Aksioma tentang Garis dan Bidang

Aksioma 1 :

Melalui dua buah titik sebarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat sebuah garis lurus. (lihat gambar 7.4 a)

Aksioma 2 :

Jika sebuah garis dan sebuah bidang memiliki dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang. (lihat gambar 7.4 b)

Aksioma 3 :

Melalui tiga buah titik sebarang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang. (lihat gambar 7.4 c)

Ilustrasi gambar 7.4 :

Berdasarkan aksioma-aksioma itu dapat diturunkan dalil-dalil (teorema) untuk menentukan sebuah bidang.

Dalil tentang Garis dan Bidang

Dalil 1 :

Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang yang tidak segaris. (lihat gambar 7.5 a)

Dalil 2 :

Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik terletak di luar garis). (lihat gambar 7.5 b)

Dalil 3 :

Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan. (lihat gambar 7.5 c)

Dalil 4 :

Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar. (lihat gambar 7.5 d)

Ilustrasi gambar 7.5 :

Kedudukan Titik terhadap Garis dan Bidang

Kedudukan Titik terhadap Garis

Kedudukan sebuah titik terhadap garis ada dua macam, yaitu sebagai berikut :

Pertama

Titik tersebut terletak pada garis.

Hal ini juga dapat dikatakan garis tersebut melalui sebuah titik.

Perhatikan gambar 5.4 a !

Kedua

Titik tersebut tidak terletak pada garis.

Dapat juga dikatakan garis tidak melalui titik tertentu.

Perhatikan gambar 5.4 b !

Kedudukan Titik terhadap Bidang

Kedudukan sebuah titik terhadap bidang juga ada dua macam, yaitu sebagai berikut :

Pertama

Titik itu terletak pada suatu bidang.

Dapat juga dikatakan bidang tersebut melalui titik.

Perhatikan gambar 5.5 a !

Kedua

Titik tersebut tidak terletak pada bidang.

Dapat pula dikatakan bidang itu tidak melalui titik.

Perhatikan gambar 5.5 b !

Kedudukan Garis terhadap Garis Lain

Kedudukan garis terhadap garis lain dalam ruang dimensi tiga ada empat macam, yaitu dua garis saling berpotongan, saling sejajar, saling berimpit, dan saling bersilangan.

Garis-Garis Saling Berpotongan

Dua garis atau lebih dikatakan saling berpotongan apabila garis-garis tersebut terletak pada bidang yang sama dan terdapat satu titik potong pada garis-garis tersebut.

Pada gambar 5.6 melukiskan dua buah garis a dan b yang berpotongan di titik P.

Garis-Garis Saling Sejajar

Dua buah garis atau lebih dikatakan saling sejajar apabila garis tersebut terletak sebidang dan tidak mempunyai titik potong (titik persekutuan).

Gambar 5.7 menunjukkan garis a dan b sejajar.

Garis-Garis Saling Berimpit

Dua garis dikatakan saling berimpit jika kedua garis itu sejajar pada satu bidang, setiap titik pada garis pertama terletak pada gariskedua dan sebaliknya.

Dua garis yang berimpit memiliki titik potong yang tak terhingga banyaknya.

Gambar 5.8 melukiskan garis a dan b yang berimpit.

Garis-Garis Saling Bersilangan

Dua garis atau lebih dikatakan saling bersilanganapabila garis-garis tersebut tidak memiliki titik persekutuan sehingga garis-garis tersebut tidak sebidang dan tidak sejajar.

Gambar 5.9 menunjukkan bahwa garis g terletak pada bidang α, sedangkan garis h tidak terletak pada bidang α.

Garis h menembus bidang α di titik B, sedangkan titik B tidak terletak di garis g.

Garis g dan h saling bersilangan.

Aksioma dua Garis Sejajar

Aksioma 4 :

Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu itu.

Perhatikan gambar 7.9 di bawah ini !

Titik A berada di luar garis g, sehingga melalui titik A dan garis g dapat dibuat bidang α dan melalui titik A dapat dibuat sebuah garis h yang sejajar garis g.

Dalil tentang Dua Garis Sejajar

Dalil 5 :

Jika garis k sejajar dengan garis l, dan garis l sejajar dengan garis m, maka garis k sejajar dengan garis m. (lihat gambar 7.10 a)

Dalil 6 :

Jika garis k sejajar garis h dan memotong garis g, garis l sejajar dengan garis h dan memotong garis g, maka garis-garis k, l, dan g terletak pada sebuah bidang. (lihat gambar 7.10 b)

Dalil 7 :

Jika garis k sejajar garis l sedangkan garis l menembus bidang α maka garis k juga menembus bidang α. (lihat gambar 7.10 c)

Ilustrasi gambar 7.10

Kedudukan Garis terhadap Bidang

Kedudukan suatu garis terhadap bidang adalah garis terletak pada bidang, garis sejajar bidang, dan garis memotong bidang.

Garis Terletak pada Bidang

Garis a terletak pada bidang α apabila semua titik pada garis a terletak pada bidang α.

Gambar 5.10 menunjukkan garis a terletak pada bidang α.

Garis Memotong Bidang

Jika suatu garis beririsan dengan bidang dan garis itu tidak terletak pada bidang, maka garis itu memotong (menembus) bidang.

Gambar 5.11 menunjukkan garis a memotong bidang α di titik B.

Suatu garis dikatakan tegak lurus pada suatu bidang apabila garis tersebut tegak lurus terhadap semua garis yang ada dalam bidang tersebut.

Gambar 5.12 menunjukkan bahwa garis a tegak lurus bidang α karena garis a tegak lurus dengan setiap garis pada bidang α.

Garis Sejajar dengan Bidang

Suatu garis dikatakan sejajar dengan bidang jika pada bidang tersebut dapat dibuat suatu garis yang sejajar dengan garis tersebut.

Garis dan bidang yang sejajar tidak memiliki titik persekutuan.

Gambar 5.13 menunjukkan garis a sejajar dengan bidang α.

Pada bidang α dapat dibuat suatu garis b yang sejajar garis a.

Dalil-Dalil tentang Garis Sejajar Bidang

Dalil 8 :

Jika garis g sejajar garis h dan garis h terletak pada bidang α, maka garis g sejajar dengan bidang α. (lihat gambar 7.12 a)

Dalil 9 :

Jika bidang α melalui garis g dan garis g sejajar dengan bidang β, maka garis potong antara bidang α dengan bidang β sejajar dengan garis g. (lihat gambar 7.12 b)

Dalil 10 :

Jika garis g sejajar garis h dan garis h sejajar bidang α, maka garis g sejajar bidang α. (lihat gambar 7.12 c)

Dalil 11 :

Jika bidang α dan bidang β berpotongan dan masing-masing sejajar terhadap garis g, maka garis potong antara kedua bidang itu sejajar dengan garis g. (lihat gambar 7.12 d)

Ilustrasi gambar 7.12

Titik Tembus antara Garis dan Bidang yang Berpotongan

Jika sebuah garis memotong sebuah bidang maka terdapat sebuah titik tembus.

Titik tembus antara garis g dengan bidang α ditentukan sebagai berikut :

1. Buat bidang β melalui garis g.
2. Tentukan garis potong bidang α dan β, yaitu garis (α,β).
3. Tentukan titik potong garis g dengan garis (α,β). Titik potongnya adalah titik T yang merupakan titik tembus yang diminta. (lihat gambar 7.13b)

Ilustrasi gambar 7.13 :

Kedudukan Bidang terhadap Bidang Lain

Misalkan ada dua bidang, yaitu bidang α dan β.

Kedudukan bidang α terhadap bidang β ada tiga macam.

Dua Bidang Berimpit

Jika setiap titik yang terletak pada bidang α juga menempati bidang β maka dikatakanbahwa bidang α dan bidang β saling berimpit. (lihat gambar 5.14 a)

Dua Bidang Sejajar

Jika bidang α dan bidang β tidak mempunyai satu pun titik persekutuan, kedua bidang itu dinamakan dua bidang saling sejajar. (lihat gambar 5.14 b)

Dua Bidang Berpotongan

Jika kedua bidang itu memiliki tepat sebuah garis persekutuan maka dapat dikatakan bahwa kedua bidang itu saling berpotongan. (lihat gambar 5.14 c)

Ilustrasi gambar 5.14 :

Tiga Bidang Berpotongan

Jika tiga buah bidang berpotongan dan memiliki tiga buah garis persekutuan, maka kemungkinan kedudukan dari ketiga garis persekutuan itu adalah berimpit (lihat gambar 7.15 a), sejajar (lihat gambar 7.15 b), atau melalui sebuah titik (lihat gambar 7.15 c).

Ilustrasi gambar 7.15 :

Dalil-Dalil tentang Dua Bidang Sejajar

Dalil 12 :

Jika garis a sejajar garis g dan garis b sejajar garis h, garis a dan b berpotongan dan terletak pada bidang α, garis g dan h berpotongan dan terletak pada bidang β, maka bidang α sejajar bidang β. (lihat gambar 7.16 a)

Dalil 13 :

Jika bidang α sejajar bidang β dan dipotong oleh bidang γ, maka garis potong (α,γ) sejajar garis potong (β,γ). (lihat gambar 7.16 b)

Dalil 14 :

Jika garis g menembus bidang α dan bidang α sejajar bidang β, maka garis g juga menembus bidang β. (lihat gambar 7.16 c)

Dalil 15 :

Jika garis g sejajar bidang α dan bidang α sejajar bidang β, maka garis g juga sejajar bidang β. (lihat gambar 7.16 d)

Dalil 16 :

Jika garis g terletak pada bidang α dan bidang α sejajar bidang β, maka garis g sejajar bidang β. (lihat gambar 7.16 e)

Dalil 17 :

Jika bidang α sejajar bidang β dan bidang γ memotong bidang α, maka bidang γ juga memotong bidang β. (lihat gambar 7.16 f)

Dalil 18 :

Jika bidang α sejajar bidang β dan bidang β sejajar bidang γ, maka bidang α sejajar bidang γ. (lihat gambar 7.16 g)

Dalil 19 :

Jika bidang α sejajar bidang U dan bidang β sejajar bidang V, bidang α dan bidang β berpotongan pada garis (α,β), bidang U dan bidang V berpotongan pada garis (U,V), maka garis (α,β) sejajar garis (U,V). (lihat gambar 7.16 h)

Ilustrasi gambar 7.16 :

Uji Kemampuan Diri 02

Soal Pertama

Perhatikan gambar 5.15 di bawah ini !

Berdasarkan macam-macam kedudukan garis terhadap garis lain.

Tentukan hubungan antara dua ruas garis berikut !

1. AB dan AD
2. AD dan BC
3. BF dan CG

Soal Kedua

Perhatikan gambar 5.16 di bawah ini !

Berdasarkan macam-macam hubungan yang terjadi terhadap kedudukan titik dengan garis, garis dengan garis, garis dengan bidang, dan bidang dengan bidang.

Tentukan hubungan antara :

1. Titik B dan ruas garis CD
2. Titik E dan ruas garis EF
3. Ruas garis BF dengan ruas garis GH
4. Ruas garis AB dengan ruas garis CD
5. Ruas garis FB dengan bidang ABCD
6. Ruas garis FG dengan bidang IJKL
7. Bidang EFGH dengan bidang IJKL
8. Bidang ABCD dengan bidang EFGH

Soal Ketiga

Perhatikan gambar 5.17 di bawah ini !

Sebutkan contoh garis atau bidang dengan kedudukan berikut ini !

1. Dua buah garis yang saling berpotongan
2. Dua buah garis yang tidak berpotongan dan tidak sejajar
3. Dua bidang yang berpotongan pada sebuah garis
4. Dua bidang yang sejajar
5. Tiga bidang yang berpotongan pada sebuah titik

Soal Keempat

Perhatikan gambar 5.18 di bawah ini !

Nyatakan kedudukan dari ruas garis-garis berikut ini !

1. Diagonal EG terhadap sisi ABCD
2. Garis OT terhadap garis AE
3. Garis EP terhadap sisi DCHG
4. Garis EP terhadap garis EF
5. Garis OP terhadap garis DH

Soal Kelima

Berapa banyak bidang yang dapat dibuat melalui dua ruas garis berikut :

1. Kedua garis itu saling berpotongan
2. Kedua garis itu sejajar
3. Kedua garis itu bersilangan

Materi selanjutnya :